高等数学

前言

预备知识

函数

反函数

复合函数

函数的四种特性

有界性

单调性

奇偶性

周期性

画图

直角坐标系画图

画极坐标系图

• 描点法 比较麻烦, 得计算多个角度对应的长度 然后连接起来
• 画出长度与角度的直角坐标系关系图, 长度是y轴, 角度是x轴, 然后就可以画极坐标图了 , 这样可以很直观的看到角度变化会带来长度的变化

举例:

画出$r=a(1-\cos \theta)(a>0)$

描点法:

画关系图法:

根据参数方程画图

数列极限

定义

四句话: 对于任给正数 x, 存在正整数N, 当 n>N 时, 恒有 | an - a | < x => a是an的极限

性质

数列极限的运算

夹逼准则

单调有界准则

题目

函数极限与连续性

函数极限

函数极限定义

函数极限的性质

极限的四则运算

夹逼准则

洛必达法则

泰勒公式

海涅定义(归结原则)

无穷小

定义

无穷小比阶

运算规则

等价无穷小替换

函数的连续与间断

连续的定义

间断的定义和分类

七种未定式

这7种结果就是 极限可能存在也可能不存在, 其他的是要么存在,要么不存在 比如 无穷大 + 无穷大 就是 无穷大, 已经不存在了,不需要判断

$\frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty}$ $0 \cdot \infty$

对于这种题型 要考虑使用 运算规则, 洛必达法则,泰勒公式, 归结原则,夹逼准则, 对于前三个, 我们通常会想到的, 但是对于后两个, 特别是夹逼准则, 一定要记得, 归结原则的话需要先求出函数的极限, 然后拿出一个特殊的x数列带入进去得到待求数列极限, 比如下面这个题

$\infty-\infty$

对于这种, 一定要转变为 $\frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty}$ $0 \cdot \infty$ , 有分母就是通分, 没有就创建分母再通分, 创建分母的方式有: 提取公因式 换元倒代换,

$\infty^0$ $0^0$ $1^{\infty}$ .

这种就是转变成 e^ln 这种形式

做题

求函数某一点的极限

如果函数在某一点连续, 就没有必要分左右讨论, 就是函数值, 如果不连续或者我们不知道连续不连续, 我们需要分两侧来讨论, 两侧极限相等, 那么极限存在, 否则就不存在

$\text { 当 } x \rightarrow 1 \text { 时, 函数 } \frac{x^2-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \text { 的极限 }$

这个题, 我们就需要分 x在1左右两侧的极限

函数在区间有界

(1) 若 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为连续函数, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必定有界.
(2) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内为连续函数, 且 $\lim _{x \rightarrow a_+} f(x) \lim _{x \rightarrow b_-} f(x)$都存在, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内必定有界.

讨论间断点问题

1. 首先看无定义点 处 两边极限值
2. 如果是分段函数, 就看 分段处两边极限 和 函数值

求未定式的极限值

• 要定要把公式灵活运用, 比如泰勒和洛必达, 他们是可以共同使用的, 有时候就需要组合他们一起使用
• 既要看局部, 又要有大局观, 比如在做等价无穷小替换的时候, 趋于0的是一个很复杂的关于自变量的表达式, 但是我们可以把它看成一个整体然后做等价替换

一元函数微分学的概念与计算

概念

导数

单侧导数

导数说到底还是极限问题

导数的几何意义.

高阶导数的概念.

定理

微分

定义

计算

四则运算

分段函数求导

变限积分求导

复合求导

反函数的导数

参数方程所确定的函数的导数

隐函数求导

对数求导法

幂指函数求导

高阶求导

基本的求导公式

总结

本讲主要是 讲了导数和微分的定义, 以及如何关于导数求导的计算, 一定要打好基础, 记牢固基本求导公式, 因为后续找原函数的时候,需要用到, 如果导数记得不牢固, 那么找原函数就会很麻烦

一元微分学的几何应用

极值和最值的概念

极值

最值

单调性和极值的判别

单调性的判别

一阶可导点是极值点的必要条件

判别极值的第一充分条件

判别极值的第二充分条件

判别极值的第三充分条件

小技巧, 对于 极值判别的第二第三充分条件, 我们可以将公式记成这样 $f^{(n)}\left(x_0\right)<0$ => $f(x) - f\left(x_0\right)<0$ 和 $f^{(n)}\left(x_0\right)>0$ => $f(x) - f\left(x_0\right)>0$ 这样就很快的记住了

凹凸性与拐点的概念

凹凸性的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续. 如果对 $I$ 上任意不同两点 $x_1, x_2$, 恒有

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2},$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的 (或凹弧)

如果恒有

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2},$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的 (或凸弧).

拐点的定义

连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.(不用区分先凹还是先凸) 这是一个函数点(x,f(x))

凹凸性与拐点的判别

判别凹凸性

设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导.
(1)若在 $I$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的;
(2) 若在 $I$ 上 $f^{\prime \prime}(x)<0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的.

二阶可导点是拐点的必要条件

设 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ 存在, 且点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为曲线上的拐点, 则 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$.

判别拐点的第一充分条件

设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续, 在点 $x=x_0$ 的某去心邻域 $\dot{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内二阶导数存在, 且在该点的左、右邻域 内 $f^{\prime \prime}(x)$ 变号 (无论是由正变负, 还是由负变正), 则点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为曲线上的拐点.

判别拐点的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内三阶可导, 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$, 则 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为拐点.

判别拐点的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导, 且 $f^{(m)}\left(x_0\right)=0(m=2, \cdots, n-1), f^{(n)}\left(x_0\right) \neq 0(n \geqslant 3)$, 则当 $n$ 为奇数时, $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为拐点.

渐近线

铅垂渐近线

若 $\lim _{x \rightarrow x^{+}} f(x)=\infty$ (或 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ ), 则 $x=x_0$ 为一条铅垂渐近线.

水平渐近线

若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=y_1$, 则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线; 若 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=y_2$, 则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线; 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=y_0$, 则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线.

斜渐近线

若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a_1, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)-a_1 x\right]=b_1$, 则 $y=a_1 x+b_1$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线;
若 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a_2, \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-a_2 x\right]=b_2$, 则 $y=a_2 x+b_2$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条斜渐近线;
若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a, \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-a x]=b$, 则 $y=a x+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的 一条斜渐近线.

解答步骤

1. 找无定义点 或者 定义域端点, 如果函数值趋于无穷大,就是铅锤渐近线,
2. 当x趋于无穷大时, 如果函数值趋于常数,就是水平渐近线
3. f(x)/x 趋于无穷大的时候,如果极限存在不等于0 记做a, 然后再求 f(x)-ax 趋于无穷大的时候是否存在, 如果两个都满足了 那么就存在斜渐进线,

最值或取值范围

求闭区间 $[a, b]$ 上连续函数 $f(x)$ 的最大值 $M$ 和最小值 $m$
(1)求出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的可疑点—驻点与不可导点, 并求出这些可疑点处的函数值;
(2) 求出端点的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$;
(3) 比较以上所求得的所有函数值, 其中最大者为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值 $M$, 最小者为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值 $m$.

求开区间 $(a, b)$ 内连续函数 $f(x)$ 的最值或者取值范围 (不一定存在最值)
(1)求出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的可疑点一驻点与不可导点, 并求出这些可疑点处的函数值.
(2) 求 $(a, b)$ 两端的单侧极限: 若 $a, b$ 为有限常数, 则求 $\lim f(x)$ 与 $\lim f(x)$; 若 $a$ 为- - , 则求 $\lim f(x)$; 若 $b$ 为 $+\infty$, 则求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$. 记以上所求左端极限为 $A$, 右端极限为 $B$.
(3) 比较(1), (2) 所得结果, 确定最值或取值范围.

做函数图形

给出函数 $f(x)$, 作图的一般步骤:
(1) 确定函数 $f(x)$ 的定义域, 并考查它是否有奇偶对称性;
(2) 求出 $f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$, 用 $f(x)$ 的无定义点, $f^{\prime}(x)=0$ 的点, $f^{\prime}(x)$ 不存在的点, $f^{\prime \prime}(x)=0$ 的点, $f^{\prime \prime}(x)$ 不 存在的点, 将定义域划分为若干子区间, 确定函数图形在各个子区间上的单调性与凹凸性, 进而确定函数 的极值点和拐点;
(3) 确定渐近线 (如果有的话);
(4)作出函数图形.
这是基本功, 一定要重视.

总结

• 导数只是研究单调性,极值 凹凸性和拐点的工具, 我们千万要记住他们的定义, 有时候不需要使用导数 使用定义就能够把题目做出来了

中值定理

涉及到函数的中值定理

有界与最值定理

介值定理

平均值定理

零点定理

涉及到导数的中值定理

费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

我们不一定要在固定作用区间上用拉格朗日, 我们也可以将一个区间变成动态的 , 比如将b变成x

泰勒公式

涉及到积分的中值定理

积分中值定理

做题

零点问题与微分不等式

零点问题

零点定理

单调性

罗尔原话

实系数奇次方程至少有一个实根

微分不等式

补充

转换坐标系

转换坐标系不会改变图形的实际形状，但是会改变描述这个图形的方程式。有些图形在极坐标系中表示起来更简单，有些则在直角坐标系中更简单。对于有些复杂的图形,比如椭圆这些二元二次方程,或者二元多次方程 我们可以将直角坐标系方程变成极坐标, 然后 建立 直角坐标系 角度和长度的关系, 然后观察这个关系图 画出 图形对象的极坐标系, 然后直接在极坐标系的中心建立直角坐标系, 这样就把图形画好了

极限

在数学中，极限是对函数在某点趋近的行为进行描述的一种工具。我们常常会讨论一个函数在某一点的极限，或者当自变量趋近无穷时函数的极限。极限的概念是微积分学基础之一，而微积分又是现代科学和工程中的基本工具。

1. 序列的极限：假设我们有一个数列 ${a_n}$。如果存在一个实数 $L$，对于任何给定的正实数 $\varepsilon$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - L| < \varepsilon$，那么我们说序列 ${a_n}$ 的极限为 $L$，记作 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$。

2. 函数的极限：假设我们有一个函数 $f(x)$ 和一个实数 $c$。如果存在一个实数 $L$，对于任何给定的正实数 $\varepsilon$，都存在一个正实数 $\delta$，使得当 $0<|x-c|<\delta$ 时，都有 $|f(x)-L|<\varepsilon$，那么我们说函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x\to c} f(x) = L$。

其中，$\varepsilon$（epsilon）和 $\delta$（delta）是用于描述"接近程度"的阈值。

请注意，有时候函数在某一点的极限可能不存在。例如，当函数在接近某一点时呈现出“震荡”的行为，或者当函数在某一点的左极限和右极限不相等时，我们就说该函数在这一点的极限不存在。

对于序列的极限, 我们指的是当n趋于无穷大

极限和有界

极限和有界这两个概念在数学中都是非常重要的，尽管它们是两个不同的概念，但有时它们之间可以有一些有趣的交集。让我们来分别讨论一下这两个概念：

极限：如我在前面的回答中所述，极限是对函数或序列在某点趋近的行为进行描述的一种工具。极限可能存在，也可能不存在。例如，考虑函数 f(x) = x，当x趋向无穷大时，f(x)的极限就不存在，因为随着x的增大，f(x)的值也在无限增大。

有界：在数学中，如果一个集合的元素在某种意义上"不会无限大或无限小"，那么我们就说这个集合是有界的。对于一组实数来说，如果存在一个实数M，使得这组数中的任何数的绝对值都不超过M，那么我们就说这组数是有界的。

那么，这两个概念之间的关系是什么呢？

一个有趣的点是：如果一个序列有极限，那么这个序列一定是有界的。这是因为，根据极限的定义，当n足够大的时候，序列的项都可以被"限制"在离极限值一个非常小的区间内。然而，反过来并不总是成立，也就是说，一个序列即使是有界的，也不一定存在极限。一个简单的例子就是序列 {(-1)^n}，这个序列是有界的，但是它不收敛，也就是说，它没有极限。

概念

无穷大无穷小

在微积分中，无穷大量和无穷小量是两个基本的概念，用来描述一些量的特性或行为。以下是对这两个概念的简单介绍：

1. 无穷大量：如果一个序列的元素的绝对值趋向于无穷大（即没有上界），那么我们就称这个序列是无穷大量。例如，序列 {n}（n是所有正整数）就是无穷大量，因为随着n的增大，**序列的元素值也趋向于无穷大。**如果是跳跃来的趋于无穷大, 比如 奇数项趋于无穷大, 偶数项随机值, 那么这个只能说是无界量, 而不是无穷大
2. 无穷小量：如果一个序列的元素的绝对值趋向于0，那么我们就称这个序列是无穷小量。例如，序列 {1/n}（n是所有正整数）就是无穷小量，因为随着n的增大，序列的元素值越来越接近0。如果是跳跃来的趋于无穷小, 比如 奇数项趋于无穷小, 偶数项随机值, 那就不能说是无穷小