第11章 多元函数微分学

  1. 多元函数的极限的定义 ( 第一种 走能走的路 第二种 所有路都要走)
  2. 连续性的判别 (跟一元函数的是一样的, 这里不讨论间断点)
  3. 偏导数的计算 (包含高阶, 求对谁的偏导数把其他变量看成常量)
  4. 可微 (这个和一元差不多, 只不过线性增量等于 各偏导数乘以微分之和, 然后尺度变成了 各微分平方和开根号)
  5. 偏导数的连续性 (用公式法取极限 和 定义法 算出来比较)
  6. 链式求导规则 (不论几阶导数,求导后的函数都有这个规则) 以及 全微分形式不变 以及 隐函数存在定义
  7. 无条件极值 (方法可能失效, 我们可以通过其他方法来判断,比如定义 选择不同路线来看是否不符合条件)
  8. 条件极值和拉格朗日乘数法
  9. 闭区域的最值计算 区域内使用无条件极值, 边界上 可以使用第8条规则, 也可以直接将边界函数带入到原函数计算, 然后得出各个可疑点, 最小的就是最小值, 最大的就是最大值
  10. 一阶偏导数连续 -> 可微; 可微 -> 偏导数存在; 可微 -> 连续 -> 极限存在 偏导数存在 推不出 连续

第12章 二重积分

  1. 普通对称性 (需要利用区间对称以及函数值) 和 轮换对称性 (只需要积分区域关于y=x对称)
  2. 计算: 首先看能否使用对称性简化, 然后看是否满足极坐标的选择条件, 最后选择好积分的积分次序
  3. 积分次序很重要, 如果遇到不好积分的函数, 可以转换一下积分次序 利用另一个变量好积分, 积分后将 不好求的函数 转变为好求的函数, 比如直接消去 或者 凑出微分…
  4. 二重积分也可以解决 一元积分问题,
  5. 计算二重积分时, 一定要保证 两次积分中 上限要大于下限, 无论是对x还是y的积分，都需要确保上限大于下限
  6. 积分的估计定理 以及 中值定理

第15章 数一专题内容

  1. 灵活使用相关变化率
  2. 曲率 与 曲率半径 互为倒数, 要牢记曲率公式
  3. 对于一元积分学的应用, 要能够准确的找出微元, 常见的应用有 物理应用(变力做功(dx),抽水力做功(dW, 几何应用(形心公式, 弧长(ds),旋转表面积(ds*r))

第17章 空间几何

  1. 单位向量为 (cosa,cosb,cosc) 这三个都是方向角的方向余弦

  2. 平面方程的几种形式: 点法式, 一般式, 截距式, 三点式

  3. 直线方程的几种形式: 一般式 (两个平面相交得来, 因此 直线方向向量 = 两个平面的法向量的外积), 点向式 参数式 两点式

  4. 空间曲线的几种形式: 一般式(两个曲面相交得来), 参数方程

  5. 空间曲线坐标面的投影, 往哪个面投,就消去另外一个变量 比如 往XOY面投 就消去X 然后得到一个条件是z=0的曲线

  6. 求旋转曲面方程: 定直线(方向向量为L)上取一个好计算的点O, 在曲线上任取一点P, 则共处一个旋转面的曲面上的点M满足:

    |OP| = |OM| PM 垂直与 L 最后联立曲线方程 消去P的坐标变量 得到曲面方程

  7. 空间曲线的切线向量

  8. 空间曲面的法线向量 = (各个偏导数的值) 对于 F(x,y,z) = 0 法线向量为 (x偏导数,y偏导数,z偏导数) z = f(x,y) 也属于这种情况, 这样就可以变成f(x,y)-z = 0 法线向量为(f对x偏导数, f对y的偏导数, -1)(需要注意法向量的方向选择)

  9. 方向导数 是曲面在一条直线方向的变化率 = 这一点的偏导数向量在直线方向向量上的投影

  10. 梯度 (grad) 是 曲面沿着某个方向变化最快的向量, 它其实就是法向量 就是这一点处的偏导数向量

  11. 由 9 10 可以得出 方向导数 = 梯度*直线方向单位向量

  12. 散度 : 一个场的散度可以解释为该点的向外或向内的流量。正的散度表示在那个点有流出的趋势，而负的散度表示有流入的趋势。

    给定一个矢量场 ( F=(P,Q,R)\mathbf{F} = (P, Q, R) )，其散度定义为：

    [div F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z][ \text{div} \ \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  13. 旋度给定一个矢量场 ( F=(P,Q,R)\mathbf{F} = (P, Q, R) )，其旋度定义为：

    ∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

    这是一个向量行列式，其结果是一个矢量。这意味着旋度的结果是一个矢量场，而散度的结果是一个标量场。

  14. 点到面的距离(直接带公式) 点到线的距离( 在直线上任取一点, 两点向量与方向向量外积的模 除以 方向向量的模) 线到线的距离(过一条线做一个平面, 平行于另外一条线, 另外一条线上任取一点 到平面的距离 就是所求答案)

第18章 三重积分和曲线曲面积分

  1. 具有的性质很多跟二重积分, 一元积分差不多, 比如中值定理,估值定理, 对称性(普通对称性,轮换对称性)
  2. 不论是先一后二 还是先二后一, 还是柱面坐标系还是球面坐标系, 都要保证 上限大于下限
  3. 柱面坐标系的微元 $dV = r , dr , d\theta , dz $ 球面坐标系微元 $ dV = r^2 \sin(\phi) , dr , d\theta , d\phi $