无题
第11章 多元函数微分学
- 多元函数的极限的定义 ( 第一种 走能走的路 第二种 所有路都要走)
- 连续性的判别 (跟一元函数的是一样的, 这里不讨论间断点)
- 偏导数的计算 (包含高阶, 求对谁的偏导数把其他变量看成常量)
- 可微 (这个和一元差不多, 只不过线性增量等于 各偏导数乘以微分之和, 然后尺度变成了 各微分平方和开根号)
- 偏导数的连续性 (用公式法取极限 和 定义法 算出来比较)
- 链式求导规则 (不论几阶导数,求导后的函数都有这个规则) 以及 全微分形式不变 以及 隐函数存在定义
- 无条件极值 (方法可能失效, 我们可以通过其他方法来判断,比如定义 选择不同路线来看是否不符合条件)
- 条件极值和拉格朗日乘数法
- 闭区域的最值计算 区域内使用无条件极值, 边界上 可以使用第8条规则, 也可以直接将边界函数带入到原函数计算, 然后得出各个可疑点, 最小的就是最小值, 最大的就是最大值
- 一阶偏导数连续 -> 可微; 可微 -> 偏导数存在; 可微 -> 连续 -> 极限存在 偏导数存在 推不出 连续
第12章 二重积分
- 普通对称性 (需要利用区间对称以及函数值) 和 轮换对称性 (只需要积分区域关于y=x对称)
- 计算: 首先看能否使用对称性简化, 然后看是否满足极坐标的选择条件, 最后选择好积分的积分次序
- 积分次序很重要, 如果遇到不好积分的函数, 可以转换一下积分次序 利用另一个变量好积分, 积分后将 不好求的函数 转变为好求的函数, 比如直接消去 或者 凑出微分…
- 二重积分也可以解决 一元积分问题,
- 计算二重积分时, 一定要保证 两次积分中 上限要大于下限, 无论是对x还是y的积分，都需要确保上限大于下限
- 积分的估计定理 以及 中值定理
第15章 数一专题内容
- 灵活使用相关变化率
- 曲率 与 曲率半径 互为倒数, 要牢记曲率公式
- 对于一元积分学的应用, 要能够准确的找出微元, 常见的应用有 物理应用(变力做功(dx),抽水力做功(dW, 几何应用(形心公式, 弧长(ds),旋转表面积(ds*r))
第17章 空间几何
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单位向量为 (cosa,cosb,cosc) 这三个都是方向角的方向余弦
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平面方程的几种形式: 点法式, 一般式, 截距式, 三点式
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直线方程的几种形式: 一般式 (两个平面相交得来, 因此 直线方向向量 = 两个平面的法向量的外积), 点向式 参数式 两点式
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空间曲线的几种形式: 一般式(两个曲面相交得来), 参数方程
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空间曲线坐标面的投影, 往哪个面投,就消去另外一个变量 比如 往XOY面投 就消去X 然后得到一个条件是z=0的曲线
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求旋转曲面方程: 定直线(方向向量为L)上取一个好计算的点O, 在曲线上任取一点P, 则共处一个旋转面的曲面上的点M满足:
|OP| = |OM| PM 垂直与 L 最后联立曲线方程 消去P的坐标变量 得到曲面方程
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空间曲线的切线向量
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空间曲面的法线向量 = (各个偏导数的值) 对于 F(x,y,z) = 0 法线向量为 (x偏导数,y偏导数,z偏导数) z = f(x,y) 也属于这种情况, 这样就可以变成f(x,y)-z = 0 法线向量为(f对x偏导数, f对y的偏导数, -1)(需要注意法向量的方向选择)
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方向导数 是曲面在一条直线方向的变化率 = 这一点的偏导数向量在直线方向向量上的投影
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梯度 (grad) 是 曲面沿着某个方向变化最快的向量, 它其实就是法向量 就是这一点处的偏导数向量
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由 9 10 可以得出 方向导数 = 梯度*直线方向单位向量
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散度 : 一个场的散度可以解释为该点的向外或向内的流量。正的散度表示在那个点有流出的趋势，而负的散度表示有流入的趋势。
给定一个矢量场 ( )，其散度定义为：
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旋度给定一个矢量场 ( )，其旋度定义为：
这是一个向量行列式，其结果是一个矢量。这意味着旋度的结果是一个矢量场，而散度的结果是一个标量场。
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点到面的距离(直接带公式) 点到线的距离( 在直线上任取一点, 两点向量与方向向量外积的模 除以 方向向量的模) 线到线的距离(过一条线做一个平面, 平行于另外一条线, 另外一条线上任取一点 到平面的距离 就是所求答案)
第18章 三重积分和曲线曲面积分
- 具有的性质很多跟二重积分, 一元积分差不多, 比如中值定理,估值定理, 对称性(普通对称性,轮换对称性)
- 不论是先一后二 还是先二后一, 还是柱面坐标系还是球面坐标系, 都要保证 上限大于下限
- 柱面坐标系的微元 $dV = r , dr , d\theta , dz $ 球面坐标系微元 $ dV = r^2 \sin(\phi) , dr , d\theta , d\phi $